Curvas en polares

Otra forma de identificar un punto en el plano es usar coordenadas polares. En en este

[caption id="attachment_490" align="alignright" width="257" caption="Plano Polar"][/caption]

sistema de coordenadas un punto esta totalmente identificado por una distancia y un ángulo. Si fijamos el punto (0,0) y la recta y=0 tendremos una representación polar del plano:

En esta representación un punto tendrá coordenadas $latex (r, \theta) $.

[caption id="attachment_491" align="alignleft" width="270" caption="Coordenadas polares de un punto."][/caption]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Esta forma de representar nos permite obtener curvas verdaderamente bellas.

En esta applet podemos obtener curvas del tipo $latex f(\theta) $, es decir, la distancia al origen es una expresión en función del ángulo.

Puedes experimentar introduciendo funciones en la caja de texto de la ventana que se abre pulsando la tecla Enter, en ella también podrás controlar el intervalo en cual varía el ángulo $latex \theta $.  Con los botones + y - podrás acercar o alejar la curva.

Sistema solar

Sistema de Inecuaciones

Geogebra 4.0 permite la representación de inecuaciones .

 

Teorema de Jordan

El teorema de Jordan es uno de esos monstruos matemáticos que si bien tienen un enunciad simple de comprender y aceptar, resulta complicadísimo de demostrar. Inicialmente, Jordan, publicó una demostración. Pero contenía un error, así que hubo que esperar hasta que en 1992 J.W. Alexander consiguiera probarlo.

Además, precisamente por lo sencillo que es el enunciado, el teorema de Jordan resulta fundamental para una gran cantidad de teorías matemáticas. Está relacionado por ejemplo con la Teoría de Grafos. Y es vital en las ramas de Topología y Análisis Funcional

En concreto el teorema es el siguiente...

Toda curva cerrada simple del plano divide al plano en dos componentes conexas disjuntas que tienen a la curva como frontera común. Una de estas componentes está acotada (el interior de la curva) y la otra es no acotada y se le llama exterior.

La demostración, aunque es muy compleja se basa en una idea simple: si una curva de Jordan (o sea una curva cerrada y sin intersecciones) divide al plano en dos partes diferenciadas, debe haber algún modo de, dado un punto, decidir si está en el interior o el exterior de la curva.

La parte difícil (la de construir el método) se apoya en una propiedad de las curvas de Jordan que las emparenta con la Teoría de Grafos, y el problema de los puentes de Könisberg

Supongamos que tenemos un punto A que no sabemos si está en el interior o el exterior de una curva de Jordan. Para decidirlo podemos elegir otro punto B que sepamos a ciencia cierta que está en el exterior de la curva. Y trazamos una semirrecta por A hasta B. Entonces, si la curva es de Jordan, sucede que: Si el número de puntos de corte entre la semirrecta y la curva es PAR, es que el punto está en el exterior de la curva si el número de puntos de corte entre la semirrecta y la curva es IMPAR, es que el punto está en el interior de la curva

Aplicándola sobre curvas sencillas, esta propiedad nos permitirá también determinar cuando una curva es de Jordan

Es decir, si dada una curva somos capaces de encontrar dos puntos A y B que no mantengan la propiedad anterior, entonces es que la curva no es de Jordan

En el siguiente ejercicio de Geogebra, os proponemos utilizar este último punto de vista, para decidir cuándo una curva es (o no) de Jordan.

Suma de dos números

Encuentra dos números cuya suma sea 20 y su producto sea máximo.

¿No te recuerda el producto de dos números al área de un polígono de 4 lados?

Vamos a hallar la solución de nuestro problema calculando el área del polígono de lados A (uno de los números entre 0 y 20) y B(el otro número entre 0 y 20).

Ya sabemos que el área de este polígono es: Área=AxB. Es decir, el producto que queremos hallar es este Área.

Mueve el punto B y contesta a las preguntas más abajo:



-¿Cuál es el área máximo de nuestro polígono?

-¿Qué pasa cuando alguno de los puntos es igual a 0?

-¿Qué forma geométrica tiene nuestro polígono entre los polígonos conocidos? ¿Es un rectángulo siempre?

Rumores

Una ciudad tiene 29.524 habitantes. Uno de ellos se entera de una noticia. Al cabo de una hora la ha comunicado a tres de sus vecinos. Cada uno de éstos, la transmite en una hora a otros tres de sus vecinos que desconocen la noticia. Éstos repiten la comunicación en las mismas condiciones. ¿Cuánto tiempo tardarán en enterarse  todos los habitantes de la ciudad?

Observa como funcionan los rumores:

Ahora que ya sabes como funciona. Responde a la pregunta inicial del problema.