Las matemáticas están escondidas en cada objeto y rincón que observamos, simplemente hay que mirar con ojos matemáticos y descubrir que esa forma o esa simetría no está ahí por casualidad.
El otro día me quedé observando la siguiente cajita:
Y pensé ¿se podrá dibujar con Geogebra?
Lo primero que pensé fue en la flor de cuatro pétalos (aquí tenéis un simulador) y realizar un cono usando en lugar de una circunferencia la flor polar. Pero antes de llegar a eso, comencé con cosas más simples.
¿Cómo realizar un cono cuya base sea una circunferencia y vértice un punto cualquiera?
Supongamos una circunferencia c en el plano XY y punto $P \in \mathbb{R^3}$ . Para obtener la superficie buscada necesito buscar una parametrización S(u,v) tal que S(u,0)= c y S(u,1)=P.
Una parametrización sencilla es:
$$S(u,v)= (1-v) P + v c(u)$$ o $$ S(u,v)= v P + (1-v) c(u)$$
He aquí el resultado, un cono con vértice en cualquier punto del espacio.
Luego pensé ¿por qué usar una circunferencia? A fin de cuentas es una curva parametrizada cualquiera.
Parametricé un pétalo como $$ \left\{\begin{array}{l} x= cos(2t) \\ y=sen(2t) \end{array} \right., t \in [- \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}]$$
Con esta técnica podemos representar superficies S(u,v) formada por los segmentos que se forman al unir un punto de una curva cualquiera $c \in \mathbb{R^3}$ con un punto $P \in \mathbb{R^3}$
Probé con algunos ejemplos, como éste:
La siguiente cuestión fue pensar ¿por qué segmentos? y ¿por qué un punto P y no una curva?
He aquí mi intento de representar la cajita anterior:
