Suma de dos números

Encuentra dos números cuya suma sea 20 y su producto sea máximo.

¿No te recuerda el producto de dos números al área de un polígono de 4 lados?

Vamos a hallar la solución de nuestro problema calculando el área del polígono de lados A (uno de los números entre 0 y 20) y B(el otro número entre 0 y 20).

Ya sabemos que el área de este polígono es: Área=AxB. Es decir, el producto que queremos hallar es este Área.

Mueve el punto B y contesta a las preguntas más abajo:



-¿Cuál es el área máximo de nuestro polígono?

-¿Qué pasa cuando alguno de los puntos es igual a 0?

-¿Qué forma geométrica tiene nuestro polígono entre los polígonos conocidos? ¿Es un rectángulo siempre?

Problema de la lata

De todos es conocido la gran cantidad de latas cilíndricas que existen en el mercado: refrescos, conservas, etc.

Pero, ¿están diseñadas para gastar el menor material posible? La mayoría no.

Imagina una lata de refresto de capacidad 33 cl. ¿Cómo tendría que ser la lata para que gastemos la menor cantidad de material al contruirla.

Para su construcción necesitaremos saber el radio y la altura de la lata.

Observa, mueve el punto rojo para ver las diferentes latas que podemos ver construir. En la parte de la izquierda verás la cantidad de material que nos haría falta para construir una lata con las dimensiones que hayas elegido.

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Como ves, existen muchas tamaños de lata que contienen 33 cl, pero no en todas gastamos el mismo material. Responde a las siguientes preguntas:

¿Qué sucede si ensanchamos la base?

¿Y si estrechamos la base?

¿Dónde crees que estará el equilibrio?

El volumen de un cilindro de radio r y altura h es: $latex V= \pi r^2 h $ y el área será: $latex A= A_{rectangulo} + 2 A_{circulo} $

El volumen será de 33cl, por tanto, $latex V=\pi r^2 h = 33$ , podemos despejar h, $latex h= \dfrac{33}{\pi r^2}$.

Por tanto, en el área $latex A=2 \pi r h + 2 \pi r^2 $ será $latex 2 \pi r \dfrac{33}{\pi r^2} + 2 \pi r^2 $.

Una vez simplificado obtenemos una expresión en función de r:

$latex A(r)= \dfrac{66}{r} + 2 \pi r^2 $

Podemos buscar el mínimo de esta función, para ello calcularemos su derivada:

$latex f'(x)= \dfrac{-66}{r^2} + 4 \pi r $

Igualando a cero y resolviendo obtenemos que $latex A(r) $latex tiene un extremo en $latex r= 1,73 $

\displaystyle