miércoles, 25 de diciembre de 2013

Curvas de persecución

El otro día en el instituto, Pablo, el profesor de dibujo me planteó como se podría hacer el siguiente dibujo:

Rápidamente me vino a la cabeza el curso de ecuaciones diferenciales de Miguel de Guzmán y las curvas de persecución, un clásico. Desempolvé mis apuntes y me puse a recordar:

Por aquella época no existía Geogebra y el problema se resolvía mediante una ecuación diferencial más o menos simple.

Imaginemos la siguiente situación: Un perro que persigue a una liebre, ambos están separados por distancia d justo antes de que la liebre se ponga a correr.



La liebre comienza a correr por el eje y a velocidad constante $v_l$, en ese momento el perro también comienza correr hacia la liebre a velocidad constante $v_p$. El perro nunca pierde de vista a la liebre.

De esta forma en el momento t=k, la situación es la siguiente:




Nuestro objetivo es calcular las coordenadas del punto $Perro(x_p,y_p)$.

Observando el dibujo anterior, vemos que:

$$y_l= v_l \cdot t  \ y \ x_l=0$$

$$x_p= d- v_p \cdot t \cdot cos (\alpha)  \ y  \ y_p= v_p \cdot t \cdot sen(\alpha)$$

Pero por otro lado tenemos que $tan(\alpha)= \dfrac{y_l  - y_p}{x_p}$.  Sustituyendo obtenemos que:

$$ tan(\alpha)= \dfrac{v_l \cdot - v_p \cdot t \cdot sen(\alpha)}{d - v_l \cdot cos (\alpha)}$$

Simplificando obtenemos: $ tan(\alpha)= \dfrac{v_l \cdot t}{d}$

Y de ahí deducimos que:

$$ sen(\alpha)= \dfrac{v_l \cdot t}{ \sqrt{d^2 + (v_l \cdot t)^2}} \\ cos(\alpha)= \dfrac{d}{ \sqrt{d^2 + (v_l \cdot t)^2}}$$

Y ya solo nos queda sustituir en las ecuaciones del principio:

$$ \begin{array}{ll}  x_pl(t)= d \left( 1 - \dfrac{v_l \cdot t}{ \sqrt{d^2 + (v_l \cdot t)^2}} \right) \\ y_p(t)= \dfrac{ v_l \cdot v_p \cdot t^2}{ \sqrt{d^2 + (v_l \cdot t)^2}}  \end{array}$$

Podemos observar el ejemplo:


Animado con los recuerdos de las clases de ecuaciones diferenciales me animé a plantear el problema de las hormigas.

¿Qué camino dibujarán 4 hormigas que inicialmente están paradas sobre los 4 vértices de un cuadrado, y cada hormiga persigue a la que está en el vértice siguiente?

Después del algún rato salió el siguiente ejemplo:


Carnaval-de-MatemáticasEsta entrada PARTICIPA en  la Edición 4.123105625 del Carnaval de Matemáticas, del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Que no te aburran las M@TES 


martes, 17 de diciembre de 2013

Eratóstenes: Dáme una vara y mediré la Tierra

Buscando materiales para mis alumnos de Bachillerato encontré este vídeo sobre cómo Eratóstenes midió la longitud de un círculo máximo de la Tierra. O como dicen en el vídeo, la circunferencia total de la Tierra. Espero que os guste.

jueves, 28 de noviembre de 2013

Los secretos de Geogebra

El pasado fin de semana se celebró en Castro Urdiales el curso "Los secretos de Geogebra", organizado por la Federación Española de Sociedades de Matemáticas en el CIEM.

Agustín Carrillo, Director del Ciem yTomás Recio
presentan el encuentro
Fue un encuentro verdaderamente extraordinario, tanto por volver a ver a los amigos con los que habitualmente colaboramos, como por los contenidos y actividades que se mostraron.

Ya el viernes se podía palpar el ambiente pues durante la comida comenzó esta reunión poniéndonos al día en actividades y experiencias. Sin apenas descanso, comenzaba la primera sesión a cargo de Rafael Losada.


 Rafa nos habló de las posibilidades del color dinámico para explorar propiedades y descubrir lugares geométricos. Además, invitó a Julio Valbuena a mostrar algunos ejemplos y trucos de construcciones y después comenzó el taller para practicar con el escáner Geogebra y otras curiosidades que Rafa nos propuso.
Julio, Rafa y José Luis

Al llegar las ocho, fin del día o al menos así estaba programado, la gente seguía dando vueltas a las actividades e intercambiando trucos y actividades.

Por fin conseguimos arrancar y nos dirigimos a la Sidrería Marcelo, donde disfrutamos de un rato de ocio y de una buena cena.



El primer día a las 9
ya estaba todo el mundo preparado
El día siguiente comenzó temprano, la hora de inicio se cumplía escrupulosamente. Por la mañana Manuel Sada nos explicó sus secretos para hacer los fractales y los ejercicios de probabilidad de su página, verdaderamente ingeniosos. Manuel invitó a Ignacio Larrosa, que nos mostró algunos ejemplos de construcciones dinámicas.

Después, Manuel nos propuso la elaboración de varias actividades.

El día continuaba y a las cuatro Josep Luis Cañadillas nos enseñó las posibilidades que Geogebra ofrece para la programación en JavaScript. El invitado en esta ocasión fue David Obrador que nos habló de las posibilidades de integrar Geogebra en Moodle.

El día llegó a su fin a eso de las ocho y media, un día intenso, más de doce horas hablando y trabajando con Geogebra.

Al día siguiente, José Luis Alvárez nos presentó las posibilidades del CAS y las novedades que tiene para cálculo de probabilidades e intervalos de confianza. Su invitado José Muñoz Santoja nos mostró la versión 3D de Geogebra mostrando como se enlaza la vista gráfica con el CAS y la vista 3D.

Los ponentes


Los asistentes


Personalmente fue un encuentro muy positivo, disfruté mucho.


miércoles, 23 de octubre de 2013

Paradoja para dormir

Me gustó esta viñeta, aunque creo que en realidad no produciría sueño, más bien todo lo contrario:

Sacado del Blog: Lo fascinante de la teoría de números

sábado, 13 de julio de 2013

El placer de descubrir

Os dejo aquí la presentación que realizamos Francisco y yo para las XVI JAEM en Palma de Mallorca. 

Más adelante, iré dejando una entrada por cada uno de los ejemplos, ya que durante el congreso me pidieron que explicara más en detalle cada uno de las investigaciones que proponemos.

miércoles, 26 de junio de 2013

Lamento de un matemático. Paul Lockhart

Así que los matemáticos están por ahí haciendo patrones de ideas. ¿Qué clase de patrones? ¿Qué clase de ideas? ¿Ideas sobre rinocerontes? No, eso se lo dejamos a los biólogos. ¿Ideas sobre el lenguaje y la cultura? No, normalmente no. Todas esas cosas son demasiado complicadas para el gusto de un matemático. Si hay algo parecido a un principio estético unificador en las matemáticas, es simplemente esto: la simplicidad es bella. A los matemáticos les gusta pensar en las cosas más simples posibles, y las cosas más simples posibles son las imaginarias. Por ejemplo, si me apetece pensar en formas —y normalmente me apetece— podría imaginarme un triángulo dentro de una caja rectangular:


Me pregunto ¿cuánto espacio ocupa el triángulo dentro de la caja? ¿Dos tercios quizá? Lo importante es entender que no estoy hablando del dibujo de un triángulo dentro de una caja. Ni de un triángulo de metal que forma parte de un sistema de vigas de un puente. No hay un motivo práctico último. Sólo estoy jugando.

Volviendo al problema
«Estaba pensando en el problema del triángulo, y me di cuenta de una cosa. Si el triángulo está muy inclinado, entonces ¡no ocupa la mitad de la caja que lo contiene! Mira:»


domingo, 9 de junio de 2013

Fuente de Hilbert Cap. I

Con motivo del Día Escolar de las Matemáticas comencé a darle vueltas sobre que podía hacer con los alumnos.

Este año el tema era Hydria-Matemáticas: Midiendo nuestras huellasAl final se me ocurrió relacionar el agua con algún objeto matemático ¿pero cual?


Leyendo por ahí, en twitter, en los blogs me llegó la inspiración: La curva de Hilbert.



¿Cómo relacionarla con agua? Pues construyéndola con tubos.

Al principio pensé en tubos transparentes, pero resultaron ser excesivamente caros. Así es que me pasé al PVC.

Pero la cosa no terminó ahí, los alumnos me dijeron que investigando habían visto la curva en tres dimensiones.

Y ni corto ni perezoso nos lanzamos a su construcción.

Tras más de dos meses de trabajo, lo conseguimos y además funcionó, el agua fluía:


Más adelante iremos publicando su construcción, coste, etc...




domingo, 5 de mayo de 2013

Terence Tao

Preparando la biografía de Tao para Suma, he encontrado un artículo en publico.es del año 2008.

En él Tao comenta:

La forma en que se enseñan las matemáticas es aburrida y árida”

Si en música, por ejemplo, sólo mostraran la escala musical, no veríamos las sinfonías que pueden componerse. Las matemáticas no deben despreciarse por su dificultad. ¿Alguien renuncia a hacer ejercicio porque cree que nunca será atleta?”

Tao apela a la condición de “desafío” de las matemáticas.

Pero no con los demás, con uno mismo. Es como subir una montaña. Un pasito aquí, otro allí, y vas aprovechando las picas que otros han dejado. Y si resuelves un problema, llega la satisfacción”

Por desgracia, muchas veces los profesores de matemáticas caemos en la monotonía y el aburrimiento de pedir a los alumnos sumen fracciones, resuelvan ecuaciones, etc., en pro de cumplir con un curriculum que anula la condición de "desafío" que  menciona Tao.








miércoles, 1 de mayo de 2013

Péndulo de ondas

El otro día me llegó por internet un video muy curioso.


Y pensé si podría explicarlo con GeoGebra. Tuve que recordar mis conocimientos de Física.

El planteamiento del problema son n péndulos no acoplados de longitud variable y separados por la misma distancia.

  • El primer péndulo $p_1$ se encuentra en la posición inicial x=0, tiene una longitud $ l_0$  describe N oscilaciones en el tiempo T.
  • El segundo péndulo $p_2$ se encuentra en la posición x=d, tiene una longitud $l_1$, describe N+1 oscilaciones en el mismo tiempo T. 
  • El tercer péndulo $p_2$ se encuentra en la posición x=2d, tiene una de longitud $l_2$, describe N+2 oscilaciones en el mismo tiempo Γ. 
  • El péndulo $p_{n+1}$ se encuentra en la posición x=nd, tiene una de longitud $l_n$, describe N+n oscilaciones en el mismo tiempo T.

Resulta que el período (tiempo que tarda en realizar una oscilación completa) el primer péndulo se obtiene:
$$ T_0= \frac{T}{N}$$
$$ l_0= \frac{g}{4 \pi^2} T_0^2$$

En general, $ T_n= \dfrac{T}{N+n} $ y $ l_n= \dfrac{g}{4 \pi^2} T_n^2$

En el instante t=0 están todos en el mismo estado, en el video es cuando coge la tabla para iniciar el movimiento.  Cada péndulo describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular   $\omega_n= \dfrac{2 \pi}{T_n}$.

Y por tanto, la ecuación que describe es $ y_n= cos( \omega_n \cdot t)$

Conforme pasa el tiempo, la diferencia de fase entre dos péndulos consecutivos va aumentando,

$$\Delta \phi = \phi_{n+1}t - \phi_nt= ( \dfrac{2 \pi (N + (n+1))}{T} - \dfrac{2 \pi (N+n)}{T}) \dfrac{T}{2}= \pi$$

La función que describe la posición de cada péndulo viene dada por:

$$ y_n= cos(\dfrac{2\pi t}{Td}x_n + \dfrac{2 \pi N}{T}t)$$



Indagando por ahí encontré el video justo de lo que he hecho en Geogebra.


Notas:


  • La pulsación o frecuencia angular se refiere a la frecuencia del movimiento circular expresada en proporción del cambio de ángulo, y se define como $2\pi$ veces la frecuencia. Se expresa en radianes/Segundo, y formalmente, se define con la letra omega minúscula $ \omega$ a través de la fórmula: $ \omega=2πF$ donde la frecuencia F es el número de oscilaciones o vueltas por segundo que se realizan.
  • Fase: El ángulo que forma el péndulo con el eje Y se denomina fase del movimiento.


martes, 30 de abril de 2013

Jornadas de intercambios de experiencias: Encuentros en Geogebra 4

Jornadas de intercambios de experiencias: Encuentros en Geogebra 4

PRIMER ANUNCIO
La SMPM "Emma Castelnuovo" va a celebrar el próximo 25 de mayo una jornada para fomentar el uso de las nuevas tecnologías en el aula y en especial el uso del programa GeoGebra en el matemáticas y otras áreas del currículo.
La SMPM invita a todos los profesores de la Comunidad de Madrid a participar en esta jornada. Estos profesores podrán ser de cualquier nivel educativo, tanto de infantil como de primaria, secundaria, bachillerato y de universidad.

sábado, 30 de marzo de 2013

I Día Geogebra de Castilla La Mancha

El pasado sábado se celebró en Albacete como presentación del IGCM el I Día Geogebra de Castilla-La Mancha. Más de un centenar de profesores de todos los niveles y varios alumnos universitarios asistieron  mostrando una voluntad y compromiso con la educación matemática verdaderamente admirable.

La mañana comenzó con el típico proceso de firma y recogida de la documentación. Después y justo antes de la conferencia de Antonio Pérez, tuvimos un rato para ver a lo colegas en persona y charlar.

También los organizadores aprovecharon para presentar el Instituto Geogebra de Castilla-La Mancha:

Antonio Pérez nos invitó en su conferencia a provocar la curiosidad de los alumnos mostrando que las matemáticas son algo más que sumar fracciones y calcular logaritmos, que a todos los alumnos les gusta probar, conjeturar, investigar y descubrir. Que hoy en día tenemos herramientas que permiten que ese proceso sea realmente fácil de llevar al aula.

Después de la conferencia inaugural comenzaron las comunicaciones. Las hubo  de todos los niveles: desde primaria hasta bachillerato, de Geogebra 4.2 y de Geogebra 5.0.

El formato de estos eventos impide ir a todas la comunicaciones, así es que hubo que elegir.

Pepe Muñoz nos habló de las posibilidades del 3D en la versión 5 y mostró varios ejemplos.

Francisco Maíz y yo también contamos una experiencia con alumnos de cuarto de la ESO.





Al mediodía disfrutamos de una comida cerca de la escuela de agronómos y aprovechamos para hacernos la típica foto de grupo:





Por la tarde comenzaron los talleres: Agustín Carrillo  nos mostró las posibilidades del CAS y Rafael Pérez las posibilidades de los guiones.







El día concluyó con la estupenda conferencia de José Antonio Mora, que nos mostró una infinidad de formas diferentes de enseñar matemáticas.



Felicitar a la Sociedad Castellano-Manchega de Profesores de Matemáticas por su estupenda 
organización.





domingo, 3 de marzo de 2013

Suma de números impares III

$$ ∇+3\cdot∇+5\cdot∇+ \cdots+(2n-1)\cdot∇= A=n^2\cdot ∇ $$
$$ \sum_{i=1}^n (2i-1)=n^2 $$