Péndulo de ondas

El otro día me llegó por internet un video muy curioso.

Y pensé si podría explicarlo con GeoGebra. Tuve que recordar mis conocimientos de Física.

El planteamiento del problema son n péndulos no acoplados de longitud variable y separados por la misma distancia.

• El primer péndulo $p_1$ se encuentra en la posición inicial x=0, tiene una longitud $ l_0$  describe N oscilaciones en el tiempo T.
• El segundo péndulo $p_2$ se encuentra en la posición x=d, tiene una longitud $l_1$, describe N+1 oscilaciones en el mismo tiempo T. 
• El tercer péndulo $p_2$ se encuentra en la posición x=2d, tiene una de longitud $l_2$, describe N+2 oscilaciones en el mismo tiempo Γ. 
• El péndulo $p_{n+1}$ se encuentra en la posición x=nd, tiene una de longitud $l_n$, describe N+n oscilaciones en el mismo tiempo T.

Resulta que el período (tiempo que tarda en realizar una oscilación completa) el primer péndulo se obtiene:

$$T_0= \frac{T}{N}$$
$$l_0= \frac{g}{4 \pi^2} T_0^2$$

En general, $ T_n= \dfrac{T}{N+n} $ y $ l_n= \dfrac{g}{4 \pi^2} T_n^2$

En el instante t=0 están todos en el mismo estado, en el video es cuando coge la tabla para iniciar el movimiento.  Cada péndulo describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular   $\omega_n= \dfrac{2 \pi}{T_n}$.

Y por tanto, la ecuación que describe es $ y_n= cos( \omega_n \cdot t)$

Conforme pasa el tiempo, la diferencia de fase entre dos péndulos consecutivos va aumentando,

$$\Delta \phi = \phi_{n+1}t - \phi_nt= ( \dfrac{2 \pi (N + (n+1))}{T} - \dfrac{2 \pi (N+n)}{T}) \dfrac{T}{2}= \pi$$

La función que describe la posición de cada péndulo viene dada por:

$$y_n= cos(\dfrac{2\pi t}{Td}x_n + \dfrac{2 \pi N}{T}t)$$

Indagando por ahí encontré el video justo de lo que he hecho en Geogebra.

Notas:

• La pulsación o frecuencia angular se refiere a la frecuencia del movimiento circular expresada en proporción del cambio de ángulo, y se define como $2\pi$ veces la frecuencia. Se expresa en radianes/Segundo, y formalmente, se define con la letra omega minúscula $ \omega$ a través de la fórmula: $ \omega=2πF$ donde la frecuencia F es el número de oscilaciones o vueltas por segundo que se realizan.
• Fase: El ángulo que forma el péndulo con el eje Y se denomina fase del movimiento.