Curvas de persecución

El otro día en el instituto, Pablo, el profesor de dibujo me planteó como se podría hacer el siguiente dibujo:

Rápidamente me vino a la cabeza el curso de ecuaciones diferenciales de Miguel de Guzmán y las curvas de persecución, un clásico. Desempolvé mis apuntes y me puse a recordar:

Por aquella época no existía Geogebra y el problema se resolvía mediante una ecuación diferencial más o menos simple.

Imaginemos la siguiente situación: Un perro que persigue a una liebre, ambos están separados por distancia d justo antes de que la liebre se ponga a correr.

La liebre comienza a correr por el eje y a velocidad constante $v_l$, en ese momento el perro también comienza correr hacia la liebre a velocidad constante $v_p$. El perro nunca pierde de vista a la liebre.

De esta forma en el momento t=k, la situación es la siguiente:

Nuestro objetivo es calcular las coordenadas del punto $Perro(x_p,y_p)$.

Observando el dibujo anterior, vemos que:

$$y_l= v_l \cdot t  \ y \ x_l=0$$

$$x_p= d- v_p \cdot t \cdot cos (\alpha)  \ y  \ y_p= v_p \cdot t \cdot sen(\alpha)$$

Pero por otro lado tenemos que $tan(\alpha)= \dfrac{y_l  - y_p}{x_p}$.  Sustituyendo obtenemos que:

$$ tan(\alpha)= \dfrac{v_l \cdot - v_p \cdot t \cdot sen(\alpha)}{d - v_l \cdot cos (\alpha)}$$

Simplificando obtenemos: $ tan(\alpha)= \dfrac{v_l \cdot t}{d}$

Y de ahí deducimos que:

$$ sen(\alpha)= \dfrac{v_l \cdot t}{ \sqrt{d^2 + (v_l \cdot t)^2}} \\ cos(\alpha)= \dfrac{d}{ \sqrt{d^2 + (v_l \cdot t)^2}}$$

Y ya solo nos queda sustituir en las ecuaciones del principio:

$$ \begin{array}{ll}  x_pl(t)= d \left( 1 - \dfrac{v_l \cdot t}{ \sqrt{d^2 + (v_l \cdot t)^2}} \right) \\ y_p(t)= \dfrac{ v_l \cdot v_p \cdot t^2}{ \sqrt{d^2 + (v_l \cdot t)^2}}  \end{array}$$

Podemos observar el ejemplo:


Animado con los recuerdos de las clases de ecuaciones diferenciales me animé a plantear el problema de las hormigas.

¿Qué camino dibujarán 4 hormigas que inicialmente están paradas sobre los 4 vértices de un cuadrado, y cada hormiga persigue a la que está en el vértice siguiente?

Después del algún rato salió el siguiente ejemplo:


Esta entrada PARTICIPA en  la Edición 4.123105625 del Carnaval de Matemáticas, del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Que no te aburran las M@TES