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La Alhambra con regla y compás.
Manuel Martínez Vela |
Desde hace ya varios años realizo con los alumnos una visita matemática a la Alhambra, en la última visita decidí comprarme el libro “La geometría de la Alhambra”, en él se hace un estudio geométrico de los mosaicos de la Alhambra desde un punto de vista de la construcción con regla y compás.
Tras una introducción, el autor comienza a diseccionar la geometría de la Alhambra. El itinerario propuesto en el libro coincide con el itinerario que el visitante puede realizar in situ.
La entrada a los Palacios se realiza por el Mexuar, lugar donde se reunía la Sura o Consejo de Ministros. También era el lugar o la antesala donde el Sultán impartía justicia.
Justo a la entrada se encuentra la Portada del Mexuar, donde se puede contemplar una yesería consistente en una cruz con los brazos doblados en ángulo recto.
Y aquí es donde comienza mi sorpresa. Se puede intuir que la construcción comienza a partir de un cuadrado, y el autor sugiere la división de un cuadrado en 6x6 subcuadrados de una forma singular, al menos para mi.
Esta división me lleva a investigar más sobre el tema y descubrir para mi sorpresa que el método propuesto se puede usar para dividir un cuadrado en 3x3, 4x4 , 5x5, 6x6 subcuadrados.
División de un cuadrado en 3x3 subcuadrados
La pregunta fue casi instantánea ¿por qué?
Partiendo de un cuadrado de lado 1 y examinando la construcción, se observa que el triángulo ABF y el triángulo IJF son semejantes. Averiguar la razón de semejanza podría establecer la relación entre el segmento IJ y el segmento AB que es precisamente el lado del cuadrado.
Tras unas pocas conjeturas, tracé la diagonal del cuadrado. Se observa entonces que los segmentos EC y AF son las medianas del triángulo ADC y por tanto, el punto I es el baricentro de dicho triángulo.
El baricentro tiene una propiedad muy interesante, la distancia del baricentro a un vértice es ⅔ de la mediana. Aplicado a nuestro triángulo:
distancia(I,F)=\( \frac{1}{3}\) distancia(I,A).
Hemos encontrado la razón de proporcionalidad, por tanto, IJ= \( \frac{1}{3}\) AB demostrando así que efectivamente que el segmento IJ es \( \frac{1}{3}\) del lado del cuadrado.
División de un cuadrado en 4x4 subcuadrados
https://www.geogebra.org/m/cqj6shm6
División de un cuadrado en 5x5 subcuadrados
Observando de nuevo la construcción, y intentando seguir un razonamiento análogo al de 3x3. Podemos intentar comprobar que el segmento IJ es efectivamente \( \frac{1}{5}\) del lado del cuadrado.
Para ello observamos que el triángulo AFD y el triángulo DFI son semejantes.
Por tanto,
\[ \frac{AF}{DF}=\frac{DF}{IF} \]
Usando el Teorema de Pitágoras en el triángulo ADF, obtenemos que \(AF=\frac{1}{2 \sqrt{5}} \) y por tanto,
\[\frac{\frac{1}{2 \sqrt{5}}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{I F}\]
obteniendo que \( IF=\frac{1}{2 \sqrt{5}}\)
Por último, nos queda establecer la semejanza del triángulo IJF con el triángulo AFB,
\[\frac{E F}{A F}=\frac{I J}{A B}\]
\[\frac{\frac{1}{2 \sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{I J}{1}\]
Obteniendo \( I J=\frac{1}{5} \)
División de un cuadrado en 6x6 subcuadrados
División de un cuadrado en 7x7 subcuadrados
Indagando encontré esta relación, pero aún no he tenido tiempo de demostrarla.
División de un cuadrado en 11x11 subcuadrados
Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta nonagésima edición, también llamadada 11.4, está organizado por Javier Cayetano Rodríguez, a través de la web Rincón Didáctico de Matemáticas, de la Consejería de Educación y Empleo de la Junta de Extremadura.
