La tierra a oscuras

Este video esta compuesto por varias imagénes captadas por el satélite Suomi NPP. Los datos fueron adquiridos durante 9 días del mes de octubre. El satélite realizó 312 órbitas hasta conseguir una imagen nítida y sin nubes. También se han usado la famosa imagen Blue Marble que se tomó en diciembre de 1972 para mejorar el realismo del video. Credit: NASA Earth Observatory/NOAA NGDC › Descarga en Alta Resolución

Suma serie geométrica de razon 1/4

Suma de naturales impares I

El problema de la trisección de un ángulo

4 Hacia el infinito y más allá

Matemáticas y wikis - 1

Las nuevas tecnologías están revolucionando la forma de enseñar Matemáticas. Las posibilidades que ofrecen los ordenadores e internet son casi ilimitadas. Una de estas posibilidades puede ser la creación de una wiki. Una wiki es simplemente un espacio web en el cual publicar cosas, una muy famosa es la Wikipedia, la enciclopedia libre. Wikispaces ofrece la posibilidad de crear una wiki, no tan ambiciosa como Wikipedia pero si con muchas posibilidades.

Registrarse en Wikispaces es gratis, simplemente necesitamos una cuenta de correo, escribir un nombre o nick y una contraseña. Podemos crear una wiki, para lo cual nos pedirá un nombre o  simplemente ser usuarios de wikispaces, lo que nos permitirá unirnos a otras wikis ya hechas.

Yo tengo creadas varias wikis. En esta entrada veremos una de ellas: 

estoestodoamigos.wikispaces.com

Todas las wikis de wikispaces cuentan con un menú, donde aparecerán las diferentes páginas, wigdets, etc que coloquemos. Por defecto, aparecen un menú lateral y un wigdet que te muestra todas las páginas que has creado,  personalmente prefiero configurar la navegación por la página personalmente, así puedo poner ordenar o jerarquizar a mi  antojo.

En esa wiki creamos entre los alumnos y yo las siguientes secciones:

Inicio

Temario

Agenda

Arte Curvo

Simétrica

Proyecto Gauss

Investigaciones, juegos y otros divertimentos

Sensaciones Matemáticas

Liga de problemas

Fotos

Lecturas Recomendadas

Visita Matemática a la Alhambra

La creación de una página es bastante fácil y aparece el menú estándar de edición web. En esa barra hay un botón que ofrece un montón de posibilidades:

Widget nos permite añadir un montón de contenido extra: google calendar, videos de youtube, html, pases de diapositiva, etc.

En esta wiki usé varias de esas tecnologías. En el apartado agenda, conecté un calendario de Google Calendar con la Wiki, así los alumnos podían consultar las fechas de las entregas de trabajos.

Esta opción me resultó muy cómoda, pues al consultar el correo también tengo disponible el calendario. Cada año creo un calendario para el curso en cuestión, luego simplemente enlazo.

Con la opción de insertar html se puede añadir los applets de Geogebra sin ningún problema.

Otra opción bastante interesante son los Proyectos. En este apartado se pueden crear páginas privadas, solamente los alumnos marcados podrán verlas, además en cada proyecto se pueden realizar equipos de trabajo privados. De esta forma, los alumnos pueden trabajar sobre un mismo tema sin saber lo que están haciendo los demás.

La parte privada también me permite poner por ejemplo las notas de los trabajos, o todas las notas. Una vez más recurrí a google. En esta ocasión utilicé google Docs ya que uno de los widget que permite usar wikispaces es la hoja de cálculo de google.

La ventaja de usar google calendar, google docs es que una vez que actualizo el calendario o la hoja de cálculo desde mi correo automáticamente aparece actualizado en la wiki.

Los cuadros de Escher hechos realidad

Lo cuadros imposibles de Escher ahora ya no son tan imposibles. El profesor Gershon Elber del Technion's Faculty of Computer Science ha sido capaz de construir físicamente algunos de los modelos de Escher.

Comenzó con figuras simples como el triángulo de penrose o el cubo de Necker y después se pasó directamente a construcciones complejas como las litografías Belvedere y Waterfall

El equipo de investigación del profesor Elber ha desarrollado una herramienta de dibujo asistido por ordenador (CAD) para diseñar objetos 3D imposibles.

Os dejo un video, impresionante.

Engatusados

Dos de mis alumnas de metodología Sara Olmedo y Victoria Llorente han diseñado un juego basado en un capítulo de la serie Friends: Engatusados.

 

El juego esta diseñado para primero de bachillerato de ciencias naturales, tuvimos que esperar todo el curso para que los alumnos estuvieran preparados para jugar.
En palabras de Sara y Victoria:

"Lo que buscamos no es explicarles temario, sino permitirles repasar y asimilar a nivel profundo lo que recientemente hayan aprendido. Además nos parece una manera de hacerles interactuar entre sí y con el profesor de una forma más cercana."

Extraido del manual del juego os pongo los objetivos:

 

Objetivos que se pretenden conseguir con el material o actividad.

Desglosamos a continuación lo que cada categoría puede reforzar en los alumnos:

• Calcula: Esta categoría brinda la ocasión de adquirir rapidez y agilidad en el cálculo. Estimulando así capacidades que permitirán que el alumno se vea más desahogado de tiempo al enfrentarse a los ejercicios de un examen o de los deberes.

•   Verdadero o Falso: Esta categoría busca incrementar el razonamiento deductivo. Tratamos de inculcar al jugador/alumno la importancia de la intuición y de remarcarle que la intuición de nada sirve si no se apoya en justificaciones lógicas. Esta categoría también suple los exámenes orales de los que carecemos en España pero presentes en gran parte de Europa.

•  Tabú: Porque sabemos que las matemáticas son una disciplina que requiere relacionar conceptos y en la que se usa continuamente lo visto en otros cursos, en esta categoría hemos querido refrescar la memoria de los que han olvidado lo que dieran en 4º de la E.S.O. El tabú permite asociar conceptos y buscar una forma astuta y eficiente de expresarse y comunicar matemáticas. No hay que aparcar la manera de expresarse en las asignaturas de ciencias.

•  Dibuja: Se subestima lo visual a la hora de enseñar matemáticas. Muchas veces una representación gráfica de un problema es mucho más útil que su correspondiente resolución algebraica, así la frase "una imagen vale más que mil palabras". Por ello, queremos que aprendan a conectar ojos y cerebro, geometría y álgebra/análisis.

• Plantea el Problema: Esta categoría nos parece especialmente útil porque el no saber transformar un problema, un párrafo de texto, en una serie de ecuaciones que permitan resolverlo es un fallo bastante general en el alumnado. Pretendemos que practiquen y que, en el equipo, los más ágiles intenten echar una mano a los demás.

Como solo diseñaron un tablero tuvimos que hacer dos equipos bastantes numerosos, aún así, el resultado fue satisfactorio tanto para los alumnos como para Sara y Victoria. Os dejo aquí unas imagénes de la clase.

Los alumnos estuvieron bastante "engatusados", las pruebas estaban  bastante ajustadas al curso lo que provocó que los alumnos reaccionaran de forma positiva ante el juego.

Para más información podéis contactar con Sara, Victoria o conmigo.

Recta tangente, máximos y mínimos

La recta tangente esta íntimamente relacionada con los conceptos de máximo y mínimos de una función.

Observa y contesta a las preguntas que aparecen debajo.




Activa el botón play que se encuentra en la esquina inferior izquierda. Observa la recta tangente.

• Describe que sucede con la recta tangente al moverse el punto A.


• Observa los puntos donde la función tiene un máximo y un mínimo. ¿Qué sucede con la recta tangene ahí? (Si necesitas que la recta vaya más más despacio, disminuye la velocidad con el deslizador v).

Asíntotas oblicuas

Asíntotas Oblícuas

La recta $ y = mx+n $ es una asíntota oblicua de la función $ f $ cuando la pendiente $ m $ y la ordenada en el origen pueden obtenerse mediante los siguientes límites:

$$ m=\lim_{x \to +-\infty} \dfrac{f(x)}{x} $$ y

$$ n=\lim_{x \to +-\infty}{[f(x)-mx]} $$


Observa la gráfica:








Vemos como la gráfica se aproxima a la recta $latex y=x $. Si calculamos los límites:

$ m=\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\dfrac{x^2+1}{x}}{x} = \lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2+1}{x^2} = 1 $.



$ n= \lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2+1}{x}- x = \lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x}=0 $

Asíntotas verticales

Asíntotas Verticales

La recta x = a es una asíntota vertical de la función f cuando existe al menos uno de los seis siguientes límites:

$ \begin{array}{ccc} \lim_{x \to a^-} {f(x)} = +\infty & \lim_{x \to a} {f(x)} = + \infty\ & \lim_{x \to a^+} {f(x)} +\infty \\ \lim_{x \to a^-} {f(x)} = - \infty & \lim_{x \to a }{f(x)} = - \infty\ & \lim_{x \to a^+ } {f(x)} = - \infty \\ \end{array} $



Intuitivamente se trata de averiguar que hace la función cuando me acerco a un valor concreto. Claro, a un número me puedo acercar por la derecha o por la izquierda, de ahí los límites laterales.

Este tipo de asíntotas suelen aparecer cuando la función tiene puntos singulares, es decir, puntos que no están en el dominio.

Observa la gráfica.




En la parte inferior puedes ver una tabla de valores. Cuando la x se acerca a 2 por la izquierda (x->2-) vemos que los valores de $latex f(x) $ crecen rápidamente. Sin embargo, al acercarnos por la derecha (x->2+) vemos que los valores decrecen aún más rápido.

De esta forma $ lim_{x \to 2^-} \dfrac{1}{x^2-5x+6}= +\infty $ y $ lim_{x \to 2^+} \dfrac{1}{x^2-5x+6}= -\infty $

Intenta calcular los límites laterales para la otra asíntota x=3.

Asíntotas Horizontales

Asíntotas Horizontales

Diremos un una función $latex f $ presenta una asíntota horizontal $latex y= k $ cuando:

$ \lim_{x\to +\infty} {f(x)} =k $

$ \lim_{x\to -\infty} {f(x)} = k $

Observa la gráfica:

En la parte inferior puedes ver una tabla de valores. Observa como cuando los valores de la variable x van aumentando, los valores $ f(x) $ se van acercando a 1. Esa es la idea de límite cuando $latex x \to \infty $

Si calculamos el límite $ lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2-3x+2}{x^2+1}=1 $

3. Las fronteras del espacio

2. La sabiduría de Oriente

1. El lenguaje del universo

Historia de las Matemáticas: Marcus du Satoy

La BBC tiene una serie de videos para realizar un paseo por la historia de las Matemáticas. El acompañante es el profesor Marcus du Sautoy. Podemos difrutar de los en videos en la página oficial.

Pero también podemos disfrutar de ellos en español.

1. El universo Matemático

2. La sabiduría de Oriente

3. Las fronteras del espacio

Geogebra,letras y naturaleza

[prezi id='gsyym8aljpb3' width='700' height='700']

Pizarra Digital Interactiva y aprendizaje matemático

]

Visionado 3D con Geogebra

Jornada Andaluza Geogebra

Este sábado se celebró en Granada una Jornada de Geogebra en el aula. Nos juntamos unos cuantos profesores para contarnos experiencias en el aula.

La organización corrió a cargo de la Sociedad Andaluza de profesores de Matemáticas Thales, a la cual felicito desde aquí.

Pudimos ver diferentes actividades realizadas en el aula con Geogebra. La asociación catalana de Geogebra nos presentó el plugin para usar en moodle.

Ademas se realizaron dos talleres sobre Geogebra 4.2 y Geogebra 5.0

Curvas en polares

Otra forma de identificar un punto en el plano es usar coordenadas polares. En en este

[caption id="attachment_490" align="alignright" width="257" caption="Plano Polar"][/caption]

sistema de coordenadas un punto esta totalmente identificado por una distancia y un ángulo. Si fijamos el punto (0,0) y la recta y=0 tendremos una representación polar del plano:

En esta representación un punto tendrá coordenadas $latex (r, \theta) $.

[caption id="attachment_491" align="alignleft" width="270" caption="Coordenadas polares de un punto."][/caption]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Esta forma de representar nos permite obtener curvas verdaderamente bellas.

En esta applet podemos obtener curvas del tipo $latex f(\theta) $, es decir, la distancia al origen es una expresión en función del ángulo.

Puedes experimentar introduciendo funciones en la caja de texto de la ventana que se abre pulsando la tecla Enter, en ella también podrás controlar el intervalo en cual varía el ángulo $latex \theta $.  Con los botones + y - podrás acercar o alejar la curva.

Sistema solar

Sistema de Inecuaciones

Geogebra 4.0 permite la representación de inecuaciones .

 

Teorema de Jordan

El teorema de Jordan es uno de esos monstruos matemáticos que si bien tienen un enunciad simple de comprender y aceptar, resulta complicadísimo de demostrar. Inicialmente, Jordan, publicó una demostración. Pero contenía un error, así que hubo que esperar hasta que en 1992 J.W. Alexander consiguiera probarlo.

Además, precisamente por lo sencillo que es el enunciado, el teorema de Jordan resulta fundamental para una gran cantidad de teorías matemáticas. Está relacionado por ejemplo con la Teoría de Grafos. Y es vital en las ramas de Topología y Análisis Funcional

En concreto el teorema es el siguiente...

Toda curva cerrada simple del plano divide al plano en dos componentes conexas disjuntas que tienen a la curva como frontera común. Una de estas componentes está acotada (el interior de la curva) y la otra es no acotada y se le llama exterior.

La demostración, aunque es muy compleja se basa en una idea simple: si una curva de Jordan (o sea una curva cerrada y sin intersecciones) divide al plano en dos partes diferenciadas, debe haber algún modo de, dado un punto, decidir si está en el interior o el exterior de la curva.

La parte difícil (la de construir el método) se apoya en una propiedad de las curvas de Jordan que las emparenta con la Teoría de Grafos, y el problema de los puentes de Könisberg

Supongamos que tenemos un punto A que no sabemos si está en el interior o el exterior de una curva de Jordan. Para decidirlo podemos elegir otro punto B que sepamos a ciencia cierta que está en el exterior de la curva. Y trazamos una semirrecta por A hasta B. Entonces, si la curva es de Jordan, sucede que: Si el número de puntos de corte entre la semirrecta y la curva es PAR, es que el punto está en el exterior de la curva si el número de puntos de corte entre la semirrecta y la curva es IMPAR, es que el punto está en el interior de la curva

Aplicándola sobre curvas sencillas, esta propiedad nos permitirá también determinar cuando una curva es de Jordan

Es decir, si dada una curva somos capaces de encontrar dos puntos A y B que no mantengan la propiedad anterior, entonces es que la curva no es de Jordan

En el siguiente ejercicio de Geogebra, os proponemos utilizar este último punto de vista, para decidir cuándo una curva es (o no) de Jordan.

Suma de dos números

Encuentra dos números cuya suma sea 20 y su producto sea máximo.

¿No te recuerda el producto de dos números al área de un polígono de 4 lados?

Vamos a hallar la solución de nuestro problema calculando el área del polígono de lados A (uno de los números entre 0 y 20) y B(el otro número entre 0 y 20).

Ya sabemos que el área de este polígono es: Área=AxB. Es decir, el producto que queremos hallar es este Área.

Mueve el punto B y contesta a las preguntas más abajo:



-¿Cuál es el área máximo de nuestro polígono?

-¿Qué pasa cuando alguno de los puntos es igual a 0?

-¿Qué forma geométrica tiene nuestro polígono entre los polígonos conocidos? ¿Es un rectángulo siempre?

Rumores

Una ciudad tiene 29.524 habitantes. Uno de ellos se entera de una noticia. Al cabo de una hora la ha comunicado a tres de sus vecinos. Cada uno de éstos, la transmite en una hora a otros tres de sus vecinos que desconocen la noticia. Éstos repiten la comunicación en las mismas condiciones. ¿Cuánto tiempo tardarán en enterarse  todos los habitantes de la ciudad?

Observa como funcionan los rumores:

Ahora que ya sabes como funciona. Responde a la pregunta inicial del problema.