lunes, 4 de febrero de 2019

Dodecaedro relleno

De los poliedros regulares se ha hablado mucho, sin embargo, hace poco vi una construcción de un dodecaedro que no había visto nunca, un dodecaedro compuesto por 12 pirámides pentagonales.

La curiosidad me pudo y comencé a investigar.

Un poliedro regular se puede dividir en m pirámides regulares iguales cuyo vértice es el centro de la esfera circunscrita al poliedro, las aristas son radios y las bases son las caras del poliedro.

Rapidamente me pregunté ¿Cuál es el centro de la esfera circunscrita de un dodecaedro? La pregunta me llevó a estudiar como construir un dodecaedro.

En el libro XIII de Los Elementos, en la proposición 17 Euclides establece como construir un dodecaedro contenido en una esfera. La construcción parte de un cubo ya inscrito en la esfera, comienza así:


Sean ABCD y CBEF dos planos del cubo antes mencionado formando ángulos rectos entre sí. Biseccionar los lados AB, BC, CD, DA, EF, EB, y FC por los puntos G, H, K, L, M, N y O respectivamente, y trazar GK, HL, MH, y NO. Cortar las líneas rectas NP, PO y HQ en extrema y media razón por los puntos R, S y T respectivamente, y sean RP, PS y TQ sus segmentos mayores. Levántese RU, SV y TW desde los puntos R,S y T formando ángulos rectos con los planos del cubo hacia la parte exterior del cubo, y háganse iguales a RP, PS y TQ.

Euclides afirmaba que  el pentágono UBWCV es equilátero, está en un plano, y es equiangular. 

Esta proposición me dio la pista para obtener el radio de la esfera circunscrita puesto que los vértices opuestos del cubo forman un diámetro de dicha esfera.  Tomando como arista del cubo 1, el radio de la esfera circunscrita es $$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ y generalizando a un lado cualquier $$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} a $$

Por otro lado, si en lugar de fijar el lado del cubo fijamos el lado del pentágono $$l$$ obtenemos que el radio es: $$R= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \phi \cdot l$$ ya que el lado del cubo es precisamente una diagonal de una de las caras del dodecaedro, y es conocido la relación entre un lado y su diagonal $$ d=\phi \cdot l$$.


Ya tenía todos los ingredientes para reproducir la primera imagen de la entrada. He aquí el resultado:



Esta entrada participa en #carnaMat94