Euler y la serie infinita 2

Cuando hice esta entrada me pregunté si podría dibujar con Geogebra el polinomio
$$P(x)= 1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \dfrac{x^8}{9!} - \cdots$$
y ver su parecido a la función  $$P(x)= \dfrac{sen(x)}{x}$$
Aquí está.

Euler y la serie infinita

El problema era calcular la siguiente suma:

$$1 + \dfrac{1}{2^2}+ \dfrac{1}{3^2}+ \dfrac{1}{4^2} + \cdots$$

O escrito en lenguaje actual, la suma de la serie:

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$$

Euler introdujo la siguiente serie polinómica:

$$P(x)= 1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \dfrac{x^8}{9!} - \cdots$$

que trató como un polinomio infinito. Y se dedicó a estudiar sus propiedades: $ x^2$

• $ P(0)=1 $
• $P(x)= x \left( \dfrac{1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \dfrac{x^8}{9!} - \cdots}{x} \right) = \dfrac{x-\dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \dfrac{x^9}{9!} - \cdots}{x}$

En este punto Euler expresó el seno como una serie $sen(x)= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$, y por tanto

$$P(x)= \dfrac{sen(x)}{x}$$

A continuación, estudió los ceros no triviales de $P(x)$, que son los ceros de $sen(x)$, es decir, $x= \pm k \pi$ para $ k=1,2,3 $. Hay que tener en cuenta que $P(0)=1$.

Conocidas sus raíces Euler pensó en factorizar $P(x)$, como $x= \pm k \pi$ expresó los factores como $ 1-\dfrac{x}{\pm k \pi} $, de esta forma:

$ P(x)= 1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \dfrac{x^8}{9!} - \cdots =$

$\left( 1- \dfrac{x}{\pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{- \pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{2 \pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{-2 \pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{3 \pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{-3 \pi} \right) =$

$ \left( 1-\dfrac{x^2}{\pi^2} \right) \cdot \left( 1-\dfrac{x^2}{4 \pi^2} \right) \cdot \left( 1-\dfrac{x^2}{9 \pi^2} \right) \cdots$

Euler se encontró con dos expresiones para $P(x)$

Operó la segunda forma y obtuvo:

$$1-\left( \dfrac{1}{\pi^2} +\dfrac{1}{4\pi^2}+\dfrac{1}{9\pi^2} \right) x^2 + \cdots$$

 Euler igualó los coeficientes de $x^2$, obteniendo que:

$$-\dfrac{1}{3!}= -\left( \dfrac{1}{\pi^2}+\dfrac{1}{4\pi^2}+\dfrac{1}{9\pi^2} \right) =-\dfrac{1}{\pi^2} \left( 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{16} + \cdots \right)=-\dfrac{1}{\pi^2} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$$

Y por tanto,

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$

Notas

Técnicamente presenta algunos errores. Factorizar $ \dfrac{sen(x)}{x} $ por sus raíces no garantiza que el resultado sea correcto, pues por ejemplo $e^x \dfrac{sen(x)}{x} $ tiene las mismas raíces y obviamente son expresiones distintas.

Euler también da por supuesto la convergencia de ciertas series infinitas necesarias para su demostración.