MathsJam

Desde hace tiempo formo parte de un grupo de amigos con una de afición común, las matemáticas. En este grupo hay magos, profesores, ingenieros y matemáticos, claro.

Nos juntamos una vez al mes, más concretamente el tercer martes de cada mes. El día no es casualidad pues coincide con otros grupos en el resto del mundo. Este movimiento se llama Math Jam, así es que nosotros somos la Maths Jam de Madrid.

El pasado martes nos reunimos en la Facultad de Matemáticas para hablar y charlar sobre las XVII JAEM de Cartagena, pues casi todos expusimos alguna experiencia. Debido a la simultaneidad de las charlas y talleres fue imposible ver todo, así es que nos juntamos para contar todas las experiencias que vimos.

Fue una reunión sumamente interesante en  la que hablamos de multitud de temas relacionados con la matemáticas. 

No puedo quedarme solo con un tema, me gustaron todos y hablaré un poquito de cada uno.

La tarde empezó con Carolina Hassman que nos habló de sus experiencias de aula y del taller que realizó: 

INNOVAR Y SORPRENDER EN LA CLASE DE MATEMÁTICAS

Nos explicó que son  y para que se usan las estructuras de Kagan, los geoplanos, los Kahoot, thatquiz, preguntas con socrative.


Kahoot

Thatquiz

Socrative

SONA

Continué yo con los Sona.
Os dejo aquí la presentación de Manuel Piqueras y los enlaces a los ficheros que preparamos.

Pulsa para ver la presentación

Tablero Sona
Tablero Sona con desarrollos
Sona con espejo

Después siguió Blanca Souto

AGUJEROS EN LAS MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y BACHILLERATO

Irene Tusset.

CONSTRUYENDO UNAS MATEMÁTICAS SIN CONTEO PARA NIÑOS CON SÍNDROME DE DOWN

Nelo e Inma con sus juegos matemáticos

Día escolar 2014. Matemáticas y computación

Reordenando mi ordenador apareció el logotipo del Día Escolar de las Matemáticas 2014, recuerdo que en la web no se pudo colgar la animación que pensé.

Aquí va:

Euler y la serie infinita 2

Cuando hice esta entrada me pregunté si podría dibujar con Geogebra el polinomio
$$ P(x)= 1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \dfrac{x^8}{9!} - \cdots $$
y ver su parecido a la función $$P(x)= \dfrac{sen(x)}{x}$$
Aquí está.

Euler y la serie infinita

El problema era calcular la siguiente suma:

$$ 1 + \dfrac{1}{2^2}+ \dfrac{1}{3^2}+ \dfrac{1}{4^2} + \cdots $$

O escrito en lenguaje actual, la suma de la serie:

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$$

Euler introdujo la siguiente serie polinómica:

$$ P(x)= 1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \dfrac{x^8}{9!} - \cdots $$

que trató como un polinomio infinito. Y se dedicó a estudiar sus propiedades: $ x^2$

• $ P(0)=1 $
• $P(x)= x \left( \dfrac{1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \dfrac{x^8}{9!} - \cdots}{x} \right) = \dfrac{x-\dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \dfrac{x^9}{9!} - \cdots}{x}$

En este punto Euler expresó el seno como una serie $sen(x)= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$, y por tanto

$$P(x)= \dfrac{sen(x)}{x}$$

A continuación, estudió los ceros no triviales de $P(x)$, que son los ceros de $sen(x)$, es decir, $x= \pm k \pi$ para $ k=1,2,3 $. Hay que tener en cuenta que $P(0)=1$.

Conocidas sus raíces Euler pensó en factorizar $P(x)$, como $x= \pm k \pi$ expresó los factores como $ 1-\dfrac{x}{\pm k \pi} $, de esta forma:

$ P(x)= 1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \dfrac{x^8}{9!} - \cdots =$

$\left( 1- \dfrac{x}{\pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{- \pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{2 \pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{-2 \pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{3 \pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{-3 \pi} \right) =$

$ \left( 1-\dfrac{x^2}{\pi^2} \right) \cdot \left( 1-\dfrac{x^2}{4 \pi^2} \right) \cdot \left( 1-\dfrac{x^2}{9 \pi^2} \right) \cdots$

Euler se encontró con dos expresiones para $P(x)$

Operó la segunda forma y obtuvo:

$$ 1-\left( \dfrac{1}{\pi^2} +\dfrac{1}{4\pi^2}+\dfrac{1}{9\pi^2} \right) x^2 + \cdots $$

 Euler igualó los coeficientes de $x^2$, obteniendo que:

$$-\dfrac{1}{3!}= -\left( \dfrac{1}{\pi^2}+\dfrac{1}{4\pi^2}+\dfrac{1}{9\pi^2} \right) =-\dfrac{1}{\pi^2} \left( 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{16} + \cdots \right)=-\dfrac{1}{\pi^2} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$$

Y por tanto,

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$

Notas

Técnicamente presenta algunos errores. Factorizar $ \dfrac{sen(x)}{x} $ por sus raíces no garantiza que el resultado sea correcto, pues por ejemplo $e^x \dfrac{sen(x)}{x} $ tiene las mismas raíces y obviamente son expresiones distintas.

Euler también da por supuesto la convergencia de ciertas series infinitas necesarias para su demostración.