Lamento de un matemático. Paul Lockhart

Así que los matemáticos están por ahí haciendo patrones de ideas. ¿Qué clase de patrones? ¿Qué clase de ideas? ¿Ideas sobre rinocerontes? No, eso se lo dejamos a los biólogos. ¿Ideas sobre el lenguaje y la cultura? No, normalmente no. Todas esas cosas son demasiado complicadas para el gusto de un matemático. Si hay algo parecido a un principio estético unificador en las matemáticas, es simplemente esto: la simplicidad es bella. A los matemáticos les gusta pensar en las cosas más simples posibles, y las cosas más simples posibles son las imaginarias. Por ejemplo, si me apetece pensar en formas —y normalmente me apetece— podría imaginarme un triángulo dentro de una caja rectangular:

Me pregunto ¿cuánto espacio ocupa el triángulo dentro de la caja? ¿Dos tercios quizá? Lo importante es entender que no estoy hablando del dibujo de un triángulo dentro de una caja. Ni de un triángulo de metal que forma parte de un sistema de vigas de un puente. No hay un motivo práctico último. Sólo estoy jugando.

Volviendo al problema

«Estaba pensando en el problema del triángulo, y me di cuenta de una cosa. Si el triángulo está muy inclinado, entonces ¡no ocupa la mitad de la caja que lo contiene! Mira:»

Fuente de Hilbert Cap. I

Con motivo del Día Escolar de las Matemáticas comencé a darle vueltas sobre que podía hacer con los alumnos.

Este año el tema era Hydria-Matemáticas: Midiendo nuestras huellas. Al final se me ocurrió relacionar el agua con algún objeto matemático ¿pero cual?

Leyendo por ahí, en twitter, en los blogs me llegó la inspiración: La curva de Hilbert.

¿Cómo relacionarla con agua? Pues construyéndola con tubos.

Al principio pensé en tubos transparentes, pero resultaron ser excesivamente caros. Así es que me pasé al PVC.

Pero la cosa no terminó ahí, los alumnos me dijeron que investigando habían visto la curva en tres dimensiones.

Y ni corto ni perezoso nos lanzamos a su construcción.

Tras más de dos meses de trabajo, lo conseguimos y además funcionó, el agua fluía:

Más adelante iremos publicando su construcción, coste, etc...

Terence Tao

Preparando la biografía de Tao para Suma, he encontrado un artículo en publico.es del año 2008.

En él Tao comenta:

La forma en que se enseñan las matemáticas es aburrida y árida”

Si en música, por ejemplo, sólo mostraran la escala musical, no veríamos las sinfonías que pueden componerse. Las matemáticas no deben despreciarse por su dificultad. ¿Alguien renuncia a hacer ejercicio porque cree que nunca será atleta?”

Tao apela a la condición de “desafío” de las matemáticas.

Pero no con los demás, con uno mismo. Es como subir una montaña. Un pasito aquí, otro allí, y vas aprovechando las picas que otros han dejado. Y si resuelves un problema, llega la satisfacción”

Por desgracia, muchas veces los profesores de matemáticas caemos en la monotonía y el aburrimiento de pedir a los alumnos sumen fracciones, resuelvan ecuaciones, etc., en pro de cumplir con un curriculum que anula la condición de "desafío" que  menciona Tao.

Péndulo de ondas

El otro día me llegó por internet un video muy curioso.

Y pensé si podría explicarlo con GeoGebra. Tuve que recordar mis conocimientos de Física.

El planteamiento del problema son n péndulos no acoplados de longitud variable y separados por la misma distancia.

• El primer péndulo $p_1$ se encuentra en la posición inicial x=0, tiene una longitud $ l_0$  describe N oscilaciones en el tiempo T.
• El segundo péndulo $p_2$ se encuentra en la posición x=d, tiene una longitud $l_1$, describe N+1 oscilaciones en el mismo tiempo T. 
• El tercer péndulo $p_2$ se encuentra en la posición x=2d, tiene una de longitud $l_2$, describe N+2 oscilaciones en el mismo tiempo Γ. 
• El péndulo $p_{n+1}$ se encuentra en la posición x=nd, tiene una de longitud $l_n$, describe N+n oscilaciones en el mismo tiempo T.

Resulta que el período (tiempo que tarda en realizar una oscilación completa) el primer péndulo se obtiene:

$$ T_0= \frac{T}{N}$$
$$ l_0= \frac{g}{4 \pi^2} T_0^2$$

En general, $ T_n= \dfrac{T}{N+n} $ y $ l_n= \dfrac{g}{4 \pi^2} T_n^2$

En el instante t=0 están todos en el mismo estado, en el video es cuando coge la tabla para iniciar el movimiento.  Cada péndulo describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular   $\omega_n= \dfrac{2 \pi}{T_n}$.

Y por tanto, la ecuación que describe es $ y_n= cos( \omega_n \cdot t)$

Conforme pasa el tiempo, la diferencia de fase entre dos péndulos consecutivos va aumentando,

$$\Delta \phi = \phi_{n+1}t - \phi_nt= ( \dfrac{2 \pi (N + (n+1))}{T} - \dfrac{2 \pi (N+n)}{T}) \dfrac{T}{2}= \pi$$

La función que describe la posición de cada péndulo viene dada por:

$$ y_n= cos(\dfrac{2\pi t}{Td}x_n + \dfrac{2 \pi N}{T}t)$$

Indagando por ahí encontré el video justo de lo que he hecho en Geogebra.

Notas:

• La pulsación o frecuencia angular se refiere a la frecuencia del movimiento circular expresada en proporción del cambio de ángulo, y se define como $2\pi$ veces la frecuencia. Se expresa en radianes/Segundo, y formalmente, se define con la letra omega minúscula $ \omega$ a través de la fórmula: $ \omega=2πF$ donde la frecuencia F es el número de oscilaciones o vueltas por segundo que se realizan.
• Fase: El ángulo que forma el péndulo con el eje Y se denomina fase del movimiento.